BSIM4 Manual : Bulk charge effect에 대한 고찰(1)

이번 포스팅은 BSIM4 모델에서 Bulk charge effect(이하 벌크 전하 효과)를 어떻게 구현하는지에 대하여 알아보겠습니다.

 

벌크 전하 효과에 의한 반전층 전하량(Qinv)식 변화에 대한 내용은 아래 포스팅에 다루었으니 모르는 분들은 내용을 참고하길 바랍니다.

 

2021.06.07 - [DEVICE PHYSICS] - Bulk charge effect(벌크 전하 계수)

Bulk charge effect(벌크 전하 계수)

 

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"벌크 전하 효과가 고려된 Qinv, Drain current, Saturation drain voltage"

 

BSIM4 모델에서 벌크 전하 효과 적용을 설명하기 전에 물리적인 설명을 정리해보겠습니다.

 

아무런 조건을 고려하지 않았을 때 이상적인 Qinv은 벌크 전하 효과를 고려했을 때 아래와 같이 변합니다.(변하다는 표현보다 실물에 좀 더 가깝다는 표현이 맞겠습니다...)

 

 

이에 따라 MOSFET IV 모델 계산식이 아래와 같이 계산됩니다. 이 식은 선형영역에서 전류식입니다.

 

 

Vdsat은 IDVD graph(또는 전달 특성 곡선)에서 특정 Vd에서 전류가 포화하게 됩니다.

기울기 관점으로 "d(Ids)/d(Vd)=0"을 의미합니다.

 

위 전류식을 Vds로 미분을 해주면 Vdsat은 다음과 같이 계산됩니다.

 

 

IV 특성 곡선은 Vdsat 기준으로 작으면 선형영역, 크면 포화 영역으로 나뉩니다.

선형영역에서의 전류식은 위에 서술되어 있고, 포화 영역에서 전류식은 아래와 같습니다.

참고로 선형영역에서의 전류식에 "Vdsat=(Vgs-Vt)/m"을 대입해주면 됩니다.

 

 

이 정도면 BSIM4 모델에서의 벌크 전하 효과를 설명하기 위한 기초 배경 정리가 완료됐습니다.

 

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이제 BSIM4 메뉴얼에서 벌크 전하 효과와 관련있는 식을 봅시다~

 

<Qinv 식>

<Bulk Charge effec 식>

 

<Vdsat 식>

 

<Drain Current 식>

 

위 BSIM4 모델식을 이론 정리한 것과 비교하면 일부 일치하는 것이 보일텐데요.

근데 위 식들을 각잡고 분석해보려면 학부 수준에서 배운 내용으론 역부족입니다.

아니....어쩌면 전 세계 유수의 천재들이 만들어낸 모델을 한 번 보고 이해하는게 말이 안되는 겁니다...(힘내자구요!)

개인적으로 BSIM4 메뉴얼 보는걸 포기하는 첫번째 순간인거 같습니다...

 

하지만 다행히 이 천재들께서 저와 같은 무식자를 위해 BSIM manual User guide를 저술했습니다.

저는 그 중에서 William Liu 저자의 "MOSFET Models for SPICE Simulation including BSIM3v3 and BSIM4" 책을 참고하여 공부합니다.

 

그럼 이 책에는 얼마나 쉽게 서술되어 있는지 확인해 보겠습니다.

 

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해당 교재는 BSIM3v3 기준으로 작성되어 있어 BSIM4 과 일부 모델식이 다릅니다.(특히 Abulk에 대한 식이 약간 다릅니다.)

다르다는 표현보다는 시뮬레이션 결과를 실물 결과에 잘 맞추기 위해 모델이 개선된 것이죠.

 

각설하고 벌크 전하 효과가 적용됐을 때, Vdsat과 Id는 아래와 같습니다.

 

 

어라? 위에서 간단히 이론 정리했을 때, 봤던 식과 동일한 형태죠? 다시 가져와 보겠습니다.

자세히 보면 "m=1+δ"인 것으로 보입니다.

더 나아가 생각해보면 "δ=α=Cdep/Coxe=3Toxe/Wdmax"인 것으로 보이네요.

 

 

이제 드디어 쉽게 이해할 수 있을거 같습니다. 그럼 더 자세히 헤쳐봅시다..

위에서 δ는 bulk charger factor로 채널과 바디 전압으로 발생하는 벌크 전하가 변동되는 양을 설명하는 것입니다.

따라서 "δ=α=Cdep/Coxe=3Toxe/Wdmax"가 맞는거네요.

 

그리고 δ는 아래 식으로 계산된다고 합니다.

 

참고로 분자에 K1은 TOXE와 관련있는 파라미터이며, 분모에 Vbs 변화에 따라 Wdmax가 바뀌는 것을 표현한 것입니다.

 

하지만 BSIM에서는 δ로 표현하는 것이 아니라 Bulk charge coefficient인 "Abulk=1+δ"로 표현합니다.

그리고 Long channel일 때는 bulk charge factor는 "1+δ"입니다.

위에서 "1+δ"로 표시된 식을 "Abulk"로 대체하면 아래와 같이 됩니다.

참고로 아래 식은 실제 BSIM 모델에 탑재된 식을 이해하기 쉽게 간략화한 것입니다.

 

 

위 식은 채널이 충분히 길 때 사용되는 식입니다. 하지만 소자가 점점 작아지면서 발생하는 short channel effect와 narrow width effect를 Abulk에 반영해야 했습니다.

그 결과, Long channel에서 간단했던 "1+δ" 식이 아래와 같이 변했습니다.(아래 Abulk 식은 BSIM4 식과 일부 다르니 주의 바랍니다.)

 

 

위 Abulk 식을 보면 δ에 채널 길이, 게이트 전압, 너비, 바디 전압 등의 변수가 곱해져 있습니다.

각 파라미터에 따른 Abulk 변화가 물리적인 변화와 동일한지는 다음 포스팅에서 작성하도록 하겠습니다.